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les recherches en géométrie projective inspirées de Rudolf Steiner

le livre à lire de Rudolf Steiner sur les « mathématiques et la réalité » est « La quatrième dimension » paru en traduction française aux éditions Triades, un résumé en anglais est ici :

http://www.science.anth.org.uk/archetype/arch01bk.pdf

en termes modernes, une géométrie se décrit au moyen d’un groupe de transformations et de ses « invariants ».

http://www.cis.upenn.edu/~cis610/geombchap6.pdf

une structure euclidienne permet d’appréhender, au moyen d’un norme dite euclidienne, les notions d’ordre métrique, distance et angle; la géométrie euclidienne, celle de notre espace « de tous les jours », est l’étude des transformations conservant les structures euclidiennes.

En somme, cette géométrie a eu un succès aussi prodigieux parce qu’elle permet de traiter la mesure et ce qui est mesurable, donc est nécessaire pour la physique, et d’abord pour la plus simple, comme celle de l’arpentage.

Elle a été complétée au 19 ème siècle par les géométries dites non-euclidiennes, riemanniennes ou lobatchevskiennes.

La géométrie de l’espace-temps de Minkowski , à 4 dimensions dont une de temps, est dite pseudo-euclidienne: c’est la géométrie de la théorie de la relativité restreinte.

En somme, ce qu’il faut retenir, c’est que la science moderne, la physique, newtonienne ou einsteinienne, traite de ce qui peut être mesuré, par des nombres donc, entiers, puis entiers relatifs (par soustraction) puis rationnels (fractions d’entiers, par division)), et enfin réels (par passage à la limite) ; viennent s’y adjoindre ensuite les nombres complexes (permettant souvent des écritures élégantes), les quaternions, et les nombres p-adiques.

Mais ceci n’a en somme , en dehors du champ purement mathématique, qu’un caractère formel : décrire et prévoir les résultats de mesures; cette physique, contrairement à ses prétentions, n’a pas de caractère vraiment explicatif.

Les « invariants » de la géométrie projective sont la collinéarité (des points alignés sont transformés en point alignés) et une quantité que l’on appelle le « cross-ratio » :

http://en.wikipedia.org/wiki/Cross-ratio

Un chapitre important en est la dualité et la polarité, qu’elle partage avec la moderne théorie des catégories (qui est omniprésente dans les expositions dites « modernes » ).

La dualité consiste à transformer les points en droites et les droites en points, tout en respectant l’incidence, voir  :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Dualit%C3%A9_(g%C3%A9om%C3%A9trie_projective)

http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_projective

http://www.britannica.com/EBchecked/topic/478486/projective-geometry

ainsi, comme en théorie des catégories, il suffira de démontrer un théorème, et le théorème dit « dual » sera automatiquement démontré, un exemple célèbre étant le théorème de Pascal et son dual le théorème de Brianchon :

http://serge.mehl.free.fr/chrono/Brianchon.html

Les bases pour étudier les travaux de Nick Thomas, qui visent à rien de moins qu’à rénover complètement la physique , sont sur son site :

http://www.nct.anth.org.uk/

où l’on trouve notamment un commentaire de la « quatrième dimension » de Rudolf Steiner :

http://www.science.anth.org.uk/archetype/arch01bk.pdf

Voici le schéma fondamental des recherches de Nick Thomas :

il ne se limite plus à l’espace « externe », qui est celui de la physique (où il peut être abordé mathématiquement selon les géométries euclidiennes, minkowkiennes, riemanniennes, ou autres), mais distingue aussi un « contrespace » (counterspace) ou « espace négatif » qui a été découvert par l’investigation spirituelle de Steiner. Ce contrespace pourrait être appelé « internel », tout y est « inversé » par rapport à l’espace : l’infini y devient un point « infiniment intérieur »

Ce contrespace est, en géométrie projective,  en relation de polarité avec l’espace , ce qui s’exprime par des relations algébriques très précises, et permet des calculs qui ne le cèdent en rien en rigueur mathématique à ceux de la relativité générale ou de la mécanique quantique.

Mais cette « nouvelle physique » échappe aux deux grands travers de la physique actuelle :

– le temps géométrisé et devenu une « dimension » , ce qui a provoqué les critiques bien connues de Bergson et Heidegger auxquelles il n’a jamais été, à mon sens, répondu de manière satisfaisante : le temps est de l’ordre de l’esprit, il ne saurait s’évaluer de manière « calculatoire » à la manière de l’espace…ou alors pour les pointeuses en usine, instrument par excellence d’Ahriman..

-l e manque d’intelligibilité en mécanique quantique, pointé avec humour par Richard Feynman :

 « si vous avez compris quelque chose à la physique quantique, c’est que vous n’avez rien compris » 

parallèlement, on ne peut que noter l’incroyable efficacité de prévision de résultats de mesures de ces deux physiques , relativité générale et quantique, respectivement à l’échelon du macrocosme et du micro , de l’infiniment petit. Beaucoup de nos intruments modernes sont basés là dessus, les GPS par exemple, ce qui constitue une vérification quotidienne qui ne saurait être remise en cause.

Mais…

le sens de l’existence humaine est il mesurable ?

ne se situe t’il pas plutôt dans cet « espace internel« , déouvert par le pionnier Rudolf Steiner, et qui ne risque pas, comme le Far West, d’être un jour envahi par les racailles et autres tenanciers de bistrots…

il m’évoque ce magnifique poème de Rilke :

http://poesie.webnet.fr/lesgrandsclassiques/poemes/rainer_maria_rilke/dis_moi_rose_d_ou_vient.html

« Dis-moi, rose, d’où vient
qu’en toi-même enclose,
ta lente essence impose
à cet espace en prose
tous ces transports aériens ?

Combien de fois cet air
prétend que les choses le trouent,
ou, avec une moue,
il se montre amer.
Tandis qu’autour de ta chair,
rose, il fait la roue. »